Kantorelmélet
Szabó Péter, MSc II. évf.
Konzulens: Koós Krisztiánné Szilágyi Brigitta
Dolgazatom a kantorokkal, ezekkel a geometriai-algebrai objektumokkal foglalkozik. Kutatásomat fizikai analógiák motiválták, például a tömegpont-rendszerek mechanikájának alkalmazhatósága a geometriában, valamint az erők és forgatónyomatékok kapcsolata. A kantorok, mint matematikai tömegpontok hasznosnak bizonyultak számos geometriai feladat megoldásában. A kantorok tere egy speciális szemléletet adó vektortérként fogható fel, mely egy valós vektorteret tömegekkel ruház fel és végtelen távoli pontokkal bővít ki. Így nem is meglepő, milyen sok kapcsolatot mutat a projektív geometriával.
Az alapfogalmak bevezetése után dolgozatomban szeretnék rátérni a kantrikus bázis fogalmára és annak speciális eseteire. A kantrikus koordinátázás után a kantortér egy közönséges vektortérré válik, ám kapcsolata a kiindulási vektortérrel érdekes kérdéseket vet fel. Az egyik legfontosabb az általános távolságképlet felírása, mely a kantrikus koordináták és a valós euklideszi távolság kapcsolatát adja meg.
Síkbeli alkalmazásként részletesen kitérek a háromszögek nevezetes pontjainak jellemzésére kantorokkal. Ez alapján az Euler-egyenesnek szép leírása adható meg. Bevezetek néhány új fogalmat -mint például a kerületi pont, kerületi vonalak-, melyek szervesen illeszkednek a kialakult képbe.
A kantortéren definiálok egy "skalárszorzást", mely nem rendelkezik a megszokott tulajdonságok mindegyikével, de nagyban hozzájárul a kantortér szerkezetének megértéséhez, segítségével komolyabb tételek fogalmazhatók meg. Egyik fő eredményem az n dimenziós pontrendszer köré írható gömb sugarára vonatkozó összefüggés. Dolgozatom végén kitérek még a projektív dualitás leírására.
A kantorelmélet tehát más szemszögből vizsgálja a jól ismert geometriai alakzatokat és meglepően sok esetben hatékony eszköznek bizonyul. A matematikai területeken kívül alkalmazható a mechanikában és a fizika más ágaiban is. Így hozájárulhat egy eygséges szemlélet kialakításához. A további alkalmazási területek keresése még folyamatban van. Munkám során szép számmal akadtak nyitott kérdések, melyek további kutatásra adhatnak okot.